Contenu d'une tirelire

Chaque année, la grande-mère de Sylvain a déposé de l'argent dans une tirelire afin de constituer une cagnotte pour son petit-fils. Elle a commencé le 1^er janvier 2002 par un dépôt de \(500\)  euros. Depuis, elle a effectué un dépôt chaque 1^er janvier, en augmentant chaque année le montant du dépôt de \(50\)  euros. Ainsi, la deuxième année, elle a déposé \(550\)  euros.

On note \(u_n\)  le montant, exprimé en euros, de la somme déposée dans la tirelire le 1^er janvier de l'année  \(2002 + n\) , où \(n \in \mathbb{N}\) . On a donc \(u_0 = 500\) .

On note \(S_n\)  le montant, exprimé en euros, de la somme contenue dans la tirelire après le dépôt du 1^er janvier de l'année \(2002 + n\) . On a donc \(S_0 = 500\) puis \(S_1 = 1 \ 050\) , etc.

1. a. Déterminer \(u_1\) , \(u_2\) et \(u_3\) . Exprimer \(u_n\)  en fonction de \(n\) .
    b. Déterminer \(S_2\)  et \(S_3\) . Exprimer \(S_n\)  en fonction de \(n\) .
    c. Le 1^er janvier 2022, la grand-mère de Sylvain a effectué son dépôt habituel, puis elle a offert la tirelire à son petit-fils. Quel est le montant de la somme reçue par Sylvain ?

2. Avec le cadeau de sa grand-mère, Sylvain effectue quelques achats puis ouvre un compte bancaire et y place la plus grande partie de la somme qu'il a reçue. Il place \(20\; 000\)  euros, à intérêts composés, au taux annuel de \(6\)  %. On note \(c_n\)  le montant, exprimé en euros, du capital disponible sur le compte bancaire de Sylvain après \(n\)  années de placement.
    a. Montrer que la suite \(\left(c_n\right)_{n \in \mathbb{N}}\)  est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison. Exprimer \(c_n\)  en fonction de \(n\) .
    b. Combien d'années, au minimum, Sylvain devra-t-il attendre pour disposer d'une somme de \(30\ 000\)  euros sur son compte bancaire ?